以下是答案，有些因为符号辨别不出来就没办法了
2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工农医类）试题参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分50分.
1.C
2.B
3.B
4.D
5.A
6.D
7.C
8.A
9.C
10.B
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分.
11.1 12. 13. 14.-6 15. ，0
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）
解：（Ⅰ）
＝
（Ⅱ）由 得
在 上为减函数，在 上为增函数，
又 （当 ），
即
故g(x)的值域为
17.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）
解：（Ⅰ） 的分布列为：
0 1 2 3 4
P
∴
（Ⅱ）由 ，得a2×2.75＝11，即 又 所以
当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2;
当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4.
∴ 或 即为所求.
18.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分）
（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作
AD⊥A1B于D，则
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC 侧面A1ABB1=A1B,得
AD⊥平面A1BC,又BC 平面A1BC，
所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，
则AA1⊥底面ABC，
所以AA1⊥BC.
又AA1 AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，
又AB 侧面A1ABB1，故AB⊥BC.
（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知 是直线AC与平面A1BC所成的角，
是二面角A1—BC—A的平面角，即
于是在Rt△ADC中， 在Rt△ADB中，
由AB＜AC，得 又 所以
解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分
别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b,
AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是
设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则
由 得
可取n=(0,-a,c)，于是 与n的夹角 为锐角，则 与 互为余角.
所以
于是由c＜b，得
即 又 所以
19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）
（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（ ），依题意得
｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝ ＜｜AB｜＝4.
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.
设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则c＝2，2a＝2 ，∴a2=2,b2=c2-a2=2.
∴曲线C的方程为 .
(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴
∴k∈（- ,-1）∪（-1，1）∪（1， ）.
设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2= ,于是
｜EF｜＝
＝
而原点O到直线l的距离d＝ ，
∴S△DEF=
若△OEF面积不小于2 ,即S△OEF ，则有
③
综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[- ，-1]∪(1-,1) ∪(1, ).
解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得（1-k2）x2-4kx-6=0.
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴ .
∴k∈（- ，-1）∪（-1，1）∪（1， ）.
设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得
｜x1-x2｜= ③
当E、F在同一去上时（如图1所示），
S△OEF＝
当E、F在不同支上时（如图2所示）.
S△ODE=
综上得S△OEF＝ 于是
由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=
若△OEF面积不小于2
④
综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[- ，-1]∪（-1，1）∪（1， ）.
20.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.（满分12分）
解：（Ⅰ）①当0＜t 10时，V(t)=(-t2+14t-40)
化简得t2-14t+40>0,
解得t＜4，或t＞10，又0＜t 10，故0＜t＜4.
②当10＜t 12时，V（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50,
化简得（t-10）（3t-41）＜0,
解得10＜t＜ ，又10＜t 12,故 10＜t 12.
综合得0<t<4,或10<t12,
故知枯水期为1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6个月.
(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.
由V′（t）=
令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).
当t变化时，V′(t) 与V (t)的变化情况如下表：
t (4,8) 8 (8,10)
V′(t) + 0 -
V(t)
极大值
由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2+50-108.52(亿立方米).
故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米
21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）
（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即
矛盾.
所以｛an｝不是等比数列.
(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1〔an+1-3(n-1)+21〕=(-1)n+1( an-2n+14)
= (-1)n•（an-3n+21）=- bn
又b1x-(λ+18),所以
当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：
当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴ (n∈N+).
故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－ 为公比的等比数列.
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）•（－ ）n-1，于是可得
Sn=-
要使a<Sn<b对任意正整数n成立，
即a<- (λ+18)•〔1－（－ ）n〕〈b(n∈N+)
①
当n为正奇数时，1<f(n)
∴f(n)的最大值为f(1)= ,f(n)的最小值为f(2)= ,
于是，由①式得 a<- (λ+18),<
当a<b 3a时，由－b-18 =-3a-18，不存在实数满足题目要求；
当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a<Sn<b,且λ的取值范围是（－b-18,-3a-18）.
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方法1：直接将b代-1、-2、和0，就可以判断了。注意答案是以-1为分界点的。令x=0,那么f(x)=-1/2x^2,此时，函数在该区间上是递增的，所以0不可以在答案区间中，所以可以排除A.B,同样的，将-1代入或-2代入即可得到答案。方法2：直接解题法。已知f'(x)=-x+b/(x+2) ，要使得f(x)在,该区间上为减函数，那么函数的导数就必须在该区间上恒为负，即f'(x)=-x+b/(x+2) <=0 恒成立，即x> b/(x+2)恒成立，因为（x+2）为真数，所以有（x+2）>0,所以即使得b<=x(x+2),x>-2 ，解得b的范围是（－∞，－1]
